根据你提供的信息,我对它的病情有了一个大致的了解。因为它出现的是典型的呼吸道感染的症状,脓性鼻涕通常是细菌性感染才会引发的。因此说明存在感染的问题。而且它使用的速诺、多西环素都是针对细菌性感染的抗生素类药物,使用抗生素治疗有效果,但可能治疗并不彻底,所以出现复发的情况。
至于过敏,可能性不是没有,但肯定不是单纯的过敏性疾病,因为存在继发性感染的问题,所以首先需要针对感染进行用药。至于过敏原,如果当地医疗条件允许,可以进行筛查。
我个人建议,可以尝试采集一下它的脓性分泌物,做一个细胞学的检查,大致判断感染源,然后再针对性地使用抗生素类药物进行治疗。另外,治疗过程中,可以配合雾化治疗,可以缩短治疗周期,症状消失后,建议继续雾化巩固,避免病情反复。